1996年普通高等学校招生全国统一考试数学理
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1996年普通高等学校招生全国统一考试数学理

1996年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理工农医类)

  本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.

  

第Ⅰ卷(选择题共65分)

注意事项:

  1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

  2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.

  3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.

  

一.选择题:本大题共15小题,第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

  (1) 已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

  (2) 当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图像 ( )

  

  (3) 若sin2x>cos2x,则x的取值范围是 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

  (4) 复数等于 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

  (5) 如果直线、与平面、、满足:∥⊥,那么必有 ( )

  (A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β

  (C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ

  (6) 当的 ( )

(A) 最大值是1,最小值是-1

(B) 最大值是1,最小值是-

(C) 最大值是2,最小值是-2

(D) 最大值是2,最小值是-1

  (7) 椭圆的两个焦点坐标是 ( )

(A) (-3,5),(-3,-3)

(B) (3,3),(3,-5)

(C) (1,1),(-7,1)

(D) (7,-1),(-1,-1)

  等于 ( )

(A)

(B) -

(C) -2

(D) --2

  (9) 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

  (10) 等比数列的首项a1=-1,前n项和为S n ,若 则等于 ( )

(A)

(B) -

(C) 2

(D) -2

  (11) 椭圆的极坐标方程为,则它在短轴上的两个顶点的极坐标是

( )

(A) (3,0),(1,)

(B) (,),(,)

(C) (2,),(2,)

(D) (,),(,)

  (12) 等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为 ( )

(A) 130

(B) 170

(C) 210

(D) 260

  (13) 设双曲线的半焦距为c,直线l过两点,已知原点到直线l的距离为,则双曲线的离心率为 ( )

(A) 2

(B)

(C)

(D)

  (14) 母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角等于 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

  (15) 设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)

等于 ( )

(A) 0.5

(B) -0.5

(C) 1.5

(D) -1.5

  

第Ⅱ卷(非选择题共85分)

  

二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

  (16)已知圆与抛物线的准线相切,则P=

  (17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有 个(用数字作答)

  (18) 的值是

  (19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是

三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  (20)解不等式.

  (21)已知△ABC的三个内角A,B,C满足:,求的值.

  22.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥侧面AC1.

  (Ⅰ)求证:BE=EB1;

  (Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.

  注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).(右下图)

  (Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.

  ① ∵

  ∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

  ② ∵

  ∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.

  ③ ∵

  ∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,

  ④ ∵

  ∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,

  ⑤ ∵

  ∴,即

  23.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?

  (粮食单产=,人均粮食占有量=)

  24.已知l1、l2是过点的两条互相垂直的直线,且l1、l2与双曲线各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2.

  (Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范围;

  (Ⅱ)若、l2的方程

  25.已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.

  (Ⅰ)证明:│c│≤1;

  (Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;

  (Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).

1996年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

说明:

  一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

  二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.

  三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

  四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

  

一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.

(1)C (2)A (3)D (4)B (5)A (6)D (7)B (8)A (9)D (10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B

二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

  (16)2 (17)32 (18) (19)

三.解答题

  (20)本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分.

  解:(Ⅰ)当a>1时,原不等式等价于不等式组:

   --2分

  由此得.

  因为1-a<0,所以x<0,

  ∴ --5分

  (Ⅱ)当0

  

  由①得,x>1或x<0,

  由②得,

  ∴ --10分

  综上,当时,不等式的解集为;

  当时,不等式的解集为 --11分

  (21)本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.满分12分.

  解法一:由题设条件知B=60°,A+C=120°. --2分

  ∵

  ∴

  将上式化为

  利用和差化积及积化和差公式,上式可化为

   --6分

  将代入上式得

  

  将代入上式并整理得

   --9分

  

  ∵

  ∴

  从而得 --12分

  解法二:由题设条件知B=60°,A+C=120°.

  设,可得, --3分

  所以

  

  

   --7分

  依题设条件有,

  ∵

  ∴

  整理得 --9分

  

  ∵,

  ∴.

  从而得. --12分

  

  (22)本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.

  (Ⅰ) ①∵面A1EC⊥侧面AC1, --2分

    ②∵面ABC⊥侧面AC1, --3分

    ③∵BE∥侧面AC1, --4分

    ④∵BE∥AA1, --5分

    ⑤∵AF=FC, --6分

  (Ⅱ)解:分别延长CE、C1B1交于点D,连结A1D.

  ∵∥,

  ∴

  ∵∠B1A1C1=∠B1 C1A1=60°,

  ∠DA1B1=∠A1DB1=(180°-∠D B1A1)=30°,

  ∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°,即⊥ --9分

  ∵CC1⊥面A1C1B1,即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根据三垂线定理得DA1⊥A1C,

  所以∠CA1C1是所求二面角的平面角. --11分

  ∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=90°,

  ∴∠CA1C1=45°,即所求二面角为45° --12分

  (23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似计算的方法和能力.满分10分.

  解:设耕地平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.

  依题意得不等式

   --5分

  化简得 --7分

  ∵

  

  

   -- 9分

  ∴x≤4(公顷).

  答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷. --10分

  (24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.

  解:(I)依题设,l1、l2的斜率都存在,因为l1过点P且与双曲线有两个交点,故方程组

   ① --1分

  有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得

   ②

  若,则方程组①只有一个解,即l1与双曲线只有一个交点,与题设矛盾,故,即,方程②的判别式为

  

  设的斜率为,因为过点且与双曲线有两个交点,故方程组

   ③

  有两个不同的解.在方程组③中消去y,整理得

   ④

  同理有

  又因为l1⊥l2,所以有k1·k2=-1. --4分

  于是,l1、l2与双曲线各有两个交点,等价于

  

  解得 --6分

  ∴ --7分

  (Ⅱ)设由方程②知

  

  ∴│A1B1│2=(x1-x2)2+(y1-y2)2

  

   ⑤ --9分

  同理,由方程④可求得,整理得 ⑥

  由,得

  将⑤、⑥代入上式得

  

  解得

  取时,;

  取时,. --12分

  (25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质,以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力.满分12分.

  (Ⅰ)证明:由条件当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1,取x=0得

  │c│=│f(0)│≤1,

  即│c│≤1. --2分

  (Ⅱ)证法一:

  当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,

  ∴g(-1)≤g(x)≤g(1),

  ∵│f(x)│≤1 (-1≤x≤1),│c│≤1,

  ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤│f(1)│+│c│≤2,

  g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(│f(-1)│+│c│)≥-2,

  由此得│g(x)│≤2; --5分

  当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,

  ∴g(-1)≥g(x)≥g(1),

  ∵│f(x)│≤1 (-1≤x≤1),│c│≤1,

  ∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤│f(-1)│+│c│≤2,

  g(1)=a+b=f(1)-c≥-(│f(1)│+│c│)≥-2,

  由此得│g(x)│≤2; --7分

  当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c.

  ∵-1≤x≤1,

  ∴│g(x)│=│f(1)-c│≤│f(1)│+│c│≤2.

  综上得│g(x)│≤2. --8分

  证法二:

  由,可得

  

  

  

   --6分

  当-1≤x≤1时,有

  根据含绝对值的不等式的性质,得

  

  即│g(x)│≤2. --8分

  (Ⅲ)因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,

  即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2. ①

  ∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,

  ∴c=f(0)=-1. --10分

  因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),

  根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图像的对称轴,由此得

  

  由① 得a=2.

  所以 f(x)=2x2-1. --12分

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